Série d'exercices non corrigé N°2 Dérivation et étude des fonctions
cours de soutien: Exercices non corrigé 2 bac inter, filière Sciences Physiques et SVT biof PDF
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cours de math : Résumé Dérivation et étude des fonctions Éducations 2éme Bac exercices math
A) Dérivation en un point et Dérivé à droite et dérivé à gauche.
1) `f` une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert
de centre 𝒂.
𝑓 est dérivable en 𝑎 si la limite `\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}` existe et est finie le note `\f'(a)`: le nombre dérivé de la fonction `f'` en 𝒂.
2) `f` est dérivable en 𝑎 ssi `\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}`=`\f'(a)`Finie. 3) Soit `f` une fonction définie sur un intervalle de la forme [𝑎, 𝑎 + 𝑟[ où 𝑟 > 0
`f`est dérivable à droite de 𝑎 si la limite `\lim_{x\rightarrow a^{+}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}` existe et est finie: `f'_{d}(a)`
4) `f` 𝑓 une fonction définie sur un intervalle de la forme
] 𝑎 − 𝑟, 𝑎] où 𝑟 > 0
`f`est dérivable à gauche de `a`si la limite `\lim_{x\rightarrow a^{-}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}` existe et est finie: `f'_{g}(a)`
5) Toute fonction dérivable en 𝑎 est continue en 𝑎. B) INTERPRETATIONS GEOMETRIQUES.
1) si `f` est dérivable en 𝑎. `f` admet une fonction affine
tangente en 𝑎 de la forme :`u(x)=f'(a)(x-a)+f(a)`
2)Si 𝑓 est dérivable en 𝑎 alors sa courbe représentative `C_{f}`
admet une tangente (𝑇) en 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎)) d’équation :(𝑻): 𝒚 = 𝒇′(𝒂)(𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂)
3) Si 𝑓 est dérivable à droite de 𝑎, alors son graphe admet
une demi-tangente à droite de 𝑎 :
`(T_{d}):y=f'_{d}(a)(x-a)+f(a) : x\geq a`
4) Si 𝑓 est dérivable à gauche de 𝑎, alors son graphe admet
une demi-tangente à gauche de 𝑎 : `(T_{g}):y=f'_{g}(a)(x-a)+f(a) : x \leqslant a`
5) Si 𝑓 est dérivable à droite et à gauche de 𝑎 et `f'_{d}(a)\neq f'_{g}(a)` on dit que la courbe représente un point
anguleux en 𝐴 (𝑎, 𝑓 (𝑎))
C) Dérivabilité sur un intervalle
1) 𝑓 est dérivable sur l’ouvert] 𝑎, 𝑏[si elle est dérivable en tout point de ]𝑎, 𝑏[
2) 𝑓 est dérivable sur le semi-ouvert [𝑎, 𝑏[si elle est
dérivable sur ]𝑎, 𝑏[ et dérivable à droite de 𝑎
3 𝑓 est dérivable sur le fermé [𝑎, 𝑏] si elle est dérivable
sur] 𝑎, 𝑏[ et dérivable à droite de 𝑎 et à gauche de 𝑏
Remarque :La fonction 𝑎𝑟𝑡𝑎𝑛 est dérivable sur et `(arctan x)'=\frac{1}{1+x^{2}} \forall x\in \mathbb{R}`
D)Monotonie et extremums d’une fonction : concavité ; points d’inflexions
1) Soit f une fonction dérivable sur un
intervalle ouvert I et a`\in`I
Si f admet un extremum relatif en a alors `\f'(a)=0`
2) Si 𝑓 est dérivable en 𝑎 et admet un extremum en 𝑎, alors
sa courbe représentative admet une tangente parallèle à (𝑂𝑥) en 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎)).
3) Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼
4)a) 𝑓′ est positive sur 𝐼 ssi 𝑓 est croissante sur 𝐼.
b) 𝑓′ est négative sur 𝐼 ssi 𝑓 est décroissante
c) 𝑓′ est nulle sur 𝐼 ssi 𝑓 est constante sur 𝐼.
5)Si 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐼 et sa fonction dérivée
est strictement positive sauf sur un nombre fini de point où
elle peut s’annuler alors 𝑓 est strictement croissante sur 𝐼
6)Si 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐼 et sa fonction dérivée
est strictement négatif sauf sur un nombre fini de point où
elle peut s’annuler alors 𝑓 est strictement décroissante sur 𝐼
7) Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼 et
𝑎 ∈ 𝐼.
b) 𝑓′ est négative sur 𝐼 ssi 𝑓 est décroissante
c) 𝑓′ est nulle sur 𝐼 ssi 𝑓 est constante sur 𝐼.
5)Si 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐼 et sa fonction dérivée
est strictement positive sauf sur un nombre fini de point où
elle peut s’annuler alors 𝑓 est strictement croissante sur 𝐼
6)Si 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐼 et sa fonction dérivée
est strictement négatif sauf sur un nombre fini de point où
elle peut s’annuler alors 𝑓 est strictement décroissante sur 𝐼
7) Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼 et
𝑎 ∈ 𝐼.
Si 𝑓′ s’annule en 𝑎 en changeant de signe à droite et à
gauche de 𝑎 alors 𝑓 admet un extremum en 𝑎
8) 𝑓 est deux fois dérivable sur un intervalle𝐼.
a) Si 𝑓′′est positive sur 𝐼 alors 𝐶𝑓 est convexe sur 𝐼.
b) Si 𝑓′′ est négative sur 𝐼 alors 𝐶𝑓 est concave sur 𝐼.
c) Si 𝑓′′ s’annule en 𝒂 en changeant de signe alors 𝐶𝑓 admet
un point d’inflexion en 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎))
gauche de 𝑎 alors 𝑓 admet un extremum en 𝑎
8) 𝑓 est deux fois dérivable sur un intervalle𝐼.
a) Si 𝑓′′est positive sur 𝐼 alors 𝐶𝑓 est convexe sur 𝐼.
b) Si 𝑓′′ est négative sur 𝐼 alors 𝐶𝑓 est concave sur 𝐼.
c) Si 𝑓′′ s’annule en 𝒂 en changeant de signe alors 𝐶𝑓 admet
un point d’inflexion en 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎))
1)Théorème de Rolle
Soit 𝑓 une fonction continue sur [𝑎, 𝑏], dérivable sur] 𝑎, 𝑏[
et telle que : 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏). Alors il existe un réel 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[
tel que : 𝑓 ′(𝑐) = 0
Soit 𝑓 une fonction continue sur [𝑎, 𝑏], dérivable sur] 𝑎, 𝑏[
et telle que : 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏). Alors il existe un réel 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[
tel que : 𝑓 ′(𝑐) = 0
2) Théorème des accroissements finies T.A.F :
a) Soit 𝑓 une fonction continue sur [𝑎, 𝑏], dérivable sur
] 𝑎, 𝑏 [Alors il existe un réel 𝑐 ∈] 𝑎, 𝑏 [tel que :
`m\leq f'(x)\leq M \forall x\in ]a;b[`a) Soit 𝑓 une fonction continue sur [𝑎, 𝑏], dérivable sur
] 𝑎, 𝑏 [Alors il existe un réel 𝑐 ∈] 𝑎, 𝑏 [tel que :
Alors: `m(b-a)\leq f(b)-f(a)\leq M(b-a)`
3) Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼.
Si 𝑓 est dérivable sur 𝑰
et `(\forall x\in I)(|f'(x)|)\leq k `(où`k\in \mathbb{R}^{\ast +}`)
Alors: `(\forall (x,y)\in I^{2})(\ | f(x)-f(y) \ |)\leq k\| x-y \ |)`