Cours : Analyse 3 Formules de Taylor, Développement Limité et Applications S2 PDF

Cours : Analyse 3 Formules de Taylor, Développement Limité et Applications  PDF - SMA - SMI -SMAI - S3

Analyse 3 Formules de Taylor, Développement Limité et Applications

Ch. I. Formule de Taylor et applications
Dérivées d’ordre supérieur. Formules de Taylor, Variation des fonctions et dérivation. Extremums relatifs,  convexité. 
Ch. II. Développement limité et applications 
Définitions et opérations sur les Développements limités. Notation de Landau. Comparaison locale des fonctions. Les équivalents. Applications (limites et étude asymptotique). Développements limités généralisés.
Ch. III. Courbes paramétrées et courbes polaires
Fonctions vectorielles à variable réelle. Limite, dérivée d'une fonction vectorielle. Constructions des courbes planes. Courbes définies en coordonnées  polaires. Repère mobile Tangente en un point. Concavité et branches infinies,  Construction des courbes polaires.

 
Développements limités 5
1.1 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Equivalence de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Un rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Fonctions convexes et dérivation . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Les formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Rappels sur les comparaisons de fonctions . . . . . . . 15
1.4.2 La formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3 Développements limit ́es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.4 Développement des fonctions usuelles . . . . . . . . . . 20
1.4.5 Taylor-Lagrange, reste intégral . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Propriétés des développements limités . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.1 Opérations sur les développements limités . . . . . . . 23
1.5.2 Comportement local près des points critiques . . . . . . 26
2 Intégration 29
2.1 Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Subdivisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2 Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Intégrales de fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Fonctions Riemann-intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Construction de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . 33
2.2.2 Opérations sur les fonctions intégrables . . . . . . . . . 36
2.2.3 Intégrales et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.4 Intégrales et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Familles de fonctions intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Manipulation de fonctions intégrables . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.3 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.4 Convention et relation de Chasles . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.1 Le théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Quelques résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6 Sommes de Riemann, de Darboux, surfaces etc. . . . . . . . . 52
2.6.1 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.2 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6.3 Estimation d’erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6.4 Lien avec les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.7 Intégrales de suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.7.1 Ce qui ne marche pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.7.2 Limite uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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