Dérivation et étude des fonctions - exercices non corrigé 1

Série d'exercices non corrigé N°1 Dérivation et étude des fonctions 

cours de soutien: Exercices math 2 bac inter, filière Sciences Physiques et SVT biof PDF

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cours de math : Résumé Dérivation et étude des fonctions Éducations 2éme Bac exercices math

A) Dérivation en un point et Dérivé à droite et dérivé à gauche. 

1) `f` une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert de centre 𝒂. 

 𝑓 est dérivable en 𝑎 si la limite `\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}` existe et est finie le note `\f'(a)`: le nombre dérivé de la fonction `f'` en 𝒂.

2) `f` est dérivable en 𝑎 ssi `\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}`=`\f'(a)`Finie. 

3) Soit `f` une fonction définie sur un intervalle de la forme [𝑎, 𝑎 + 𝑟[ où 𝑟 > 0

`f`est dérivable à droite de 𝑎 si la limite `\lim_{x\rightarrow a^{+}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}` existe et est finie: `f'_{d}(a)` 4) `f` 𝑓 une fonction définie sur un intervalle de la forme ] 𝑎 − 𝑟, 𝑎] où 𝑟 > 0 `f`est dérivable à gauche de `a`si la limite `\lim_{x\rightarrow a^{-}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}` existe et est finie: `f'_{g}(a)` 5) Toute fonction dérivable en 𝑎 est continue en 𝑎. 

B) INTERPRETATIONS GEOMETRIQUES.

1) si `f` est dérivable en 𝑎. `f` admet une fonction affine tangente en 𝑎 de la forme :`u(x)=f'(a)(x-a)+f(a)` 

2)Si 𝑓 est dérivable en 𝑎 alors sa courbe représentative `C_{f}` admet une tangente (𝑇) en 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎)) d’équation :(𝑻): 𝒚 = 𝒇′(𝒂)(𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂) 

 3) Si 𝑓 est dérivable à droite de 𝑎, alors son graphe admet une demi-tangente à droite de 𝑎 : `(T_{d}):y=f'_{d}(a)(x-a)+f(a) : x\geq a` 

4) Si 𝑓 est dérivable à gauche de 𝑎, alors son graphe admet une demi-tangente à gauche de 𝑎 : `(T_{g}):y=f'_{g}(a)(x-a)+f(a) : x \leqslant a` 

5) Si 𝑓 est dérivable à droite et à gauche de 𝑎 et `f'_{d}(a)\neq f'_{g}(a)` on dit que la courbe représente un point anguleux en 𝐴 (𝑎, 𝑓 (𝑎)) 

C) Dérivabilité sur un intervalle 

1) 𝑓 est dérivable sur l’ouvert] 𝑎, 𝑏[si elle est dérivable en tout point de ]𝑎, 𝑏[ 

2) 𝑓 est dérivable sur le semi-ouvert [𝑎, 𝑏[si elle est dérivable sur ]𝑎, 𝑏[ et dérivable à droite de 𝑎 3 𝑓 est dérivable sur le fermé [𝑎, 𝑏] si elle est dérivable sur] 𝑎, 𝑏[ et dérivable à droite de 𝑎 et à gauche de 𝑏 Remarque :La fonction 𝑎𝑟𝑡𝑎𝑛 est dérivable sur et `(arctan x)'=\frac{1}{1+x^{2}} \forall x\in \mathbb{R}`

D)Monotonie et extremums d’une fonction : concavité ; points d’inflexions 

1) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a`\in`I Si f admet un extremum relatif en a alors `\f'(a)=0` 

2) Si 𝑓 est dérivable en 𝑎 et admet un extremum en 𝑎, alors sa courbe représentative admet une tangente parallèle à (𝑂𝑥) en 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎)).

3) Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼

4)a) 𝑓′ est positive sur 𝐼 ssi 𝑓 est croissante sur 𝐼.
b) 𝑓′ est négative sur 𝐼 ssi 𝑓 est décroissante
c) 𝑓′ est nulle sur 𝐼 ssi 𝑓 est constante sur 𝐼.
5)Si 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐼 et sa fonction dérivée
est strictement positive sauf sur un nombre fini de point où
elle peut s’annuler alors 𝑓 est strictement croissante sur 𝐼
6)Si 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐼 et sa fonction dérivée
est strictement négatif sauf sur un nombre fini de point où
elle peut s’annuler alors 𝑓 est strictement décroissante sur 𝐼
7) Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼 et
𝑎 ∈ 𝐼.

Si 𝑓′ s’annule en 𝑎 en changeant de signe à droite et à
gauche de 𝑎 alors 𝑓 admet un extremum en 𝑎
8) 𝑓 est deux fois dérivable sur un intervalle𝐼.
a) Si 𝑓′′est positive sur 𝐼 alors 𝐶𝑓 est convexe sur 𝐼.
b) Si 𝑓′′ est négative sur 𝐼 alors 𝐶𝑓 est concave sur 𝐼.
c) Si 𝑓′′ s’annule en 𝒂 en changeant de signe alors 𝐶𝑓 admet
un point d’inflexion en 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎))

1)Théorème de Rolle
Soit 𝑓 une fonction continue sur [𝑎, 𝑏], dérivable sur] 𝑎, 𝑏[
et telle que : 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏). Alors il existe un réel 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[
tel que : 𝑓 ′(𝑐) = 0

2) Théorème des accroissements finies T.A.F :
a) Soit 𝑓 une fonction continue sur [𝑎, 𝑏], dérivable sur
] 𝑎, 𝑏 [Alors il existe un réel 𝑐 ∈] 𝑎, 𝑏 [tel que :

`m\leq f'(x)\leq M \forall x\in ]a;b[`

 Alors: `m(b-a)\leq f(b)-f(a)\leq M(b-a)` 3) Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼. Si 𝑓 est dérivable sur 𝑰 et `(\forall x\in I)(|f'(x)|)\leq k `(où`k\in \mathbb{R}^{\ast +}`) 

Alors: `(\forall (x,y)\in I^{2})(\ | f(x)-f(y) \ |)\leq k\| x-y \ |)`

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