Limites et continuité - Résumé 1
Résumé N°1 limites et continuité pour 2 bac inter, filière sciences mathématiques A et B biof PDF
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1- Limite d’une fonction en un point
Définition
| Soit `\f` une fonction définie sur un intervalle I de ℝ, 𝐼 et `\l` un réel donné. On dit que `\f(x)` tend vers `\l` quand x
tend vers a lorsque : « `\f(x)` devient aussi proche de `\l` que l'on veut lorsque x est suffisamment proche de a ». On
écrit alors `\lim_{x\rightarrow a}f(x)=l` Autrement dit: `( \forall \epsilon> 0 \ )`` ( \exists \alpha >0 \ )``( \forall x \in D_{f} \ )``( 0<|x-a|<\alpha \Rightarrow |f(x)-l|<\epsilon \)` |
2. L’unicité de la limite
Proprieté
| Si une fonction `\f` admet une limite `\l \in ℝ` en un point a, cette limite est unique |
3. Limites des fonctions usuelles
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4. Operations sur les limites
II. Continuité d’une fonction numérique
1. La continuité en un point
Définition
| Soit une fonction `\f` définie sur un intervalle I contenant un réel `\a`. - `\f` est continue en `\a` si:`\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)` |
2. La continuité à gauche et la continuité à droite Définition
| 1) Soit f la fonction définie sur un intervalle de la forme `\ ]a-\alpha ; a \ ](\alpha >0)` On dit la fonction f est continue à gauche si: `\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=f(a)` 2) Soit f la fonction définie sur un intervalle de la forme `\ [a;a+\alpha \ [(\alpha >0)` On dit la fonction f est continue à droite si: `\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a)` |
3. Prolongement par continuité
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4. La continuité d’une fonction sur un intervalle
5. Les opérations sur les fonctions continues
6. Composée de deux fonctions
A. Continuité de la composée de deux fonctions
B. Composée d’une fonction continue et d’une fonction admet une limite
C. Image d’un intervalle et d’un segment par une fonction continue
D. Théorème des Valeurs intermédiaires